sector circular. Existen diferentes figuras geométricas como el cuadrado, el rectángulo, el trapecio, el círculo, la circunferencia, etcétera. Cada una ellas tienen sus definiciones y elementos y se les puede calcular el área, perímetro y la longitud.
Hace mucho tiempo los hombres se esforzaron por realizar estos cálculos por la importancia que tenían distintos objetos, principalmente circulares, empleados en la práctica. De ahí comenzó el estudio de los diferentes elementos que los componen, entre ellos el sector circular.

Contenido  [ocultar] 1 Aplicaciones 2 Área de un sector circular 2.1 Ejemplo 3 Perímetro de un sector circular 3.1 Longitud del arco 3.2 Ejemplo 4 Fuente

Aplicaciones

Conociendo acerca del sector circular se puede calcular el área recorrida por un columpio al mecerse.
Asimismo se puede calcular el área que recorre el péndulo del reloj de pared. La cantidad de metros cuadrados que abarca un huerto con esta forma geométrica y con ella la cantidad de materiales que se emplearán para cercar sus límites.

Área de un sector circular

Se puede obtener una relación para calcular el área de un sector circular como se muestra a continuación.

Ejemplo

Calcula el área de un sector circular que tiene 20° de amplitud en un círculo de 2m de radio.

Perímetro de un sector circular

El perímetro es la suma de la longitud de sus lados, en este caso tiene dos lados iguales que es el radio del círculo y un arco, por tanto es necesario hallar la longitud del arco primeramente.

Longitud del arco

Para calcular la longitud de un arco de circunferencia se debe establecer una proporción donde L es la longitud de la circunferencia, b es la longitud del arco, a es la amplitud del ángulo central correspondiente y 360º es la amplitud total de la circunferencia. Quedando dicha proporción como se muestra a continuación:

ÁREA Y LONGITUD DE UNA SECCIÓN CIRCULAR

Longitud de arco y área del sector circular - Solución 1

1. Un auto en una pista circular recorre 135° y barre una longitud de arco de 54π metros.
   
   a) Hallar el radio de la pista circular.
   b) Hallar el área del sector circular recorrida.

Solución

1. En la figura tenemos el recorrido del auto en la pista circular, barriendo un angulo y un arco de 135° y 54πm respectivamente. Nos piden que hallemos el radio.

Para hallar el radio de la pista circular aplicamos la formula:

L = Θ×R ………①

Donde:
L: longitud de arco.
Θ: ángulo barrido en radianes.
R: radio.

Datos que nos proporcionan:
L = 54π m.
Θ = 135°
R = ?

Para poder desarrollar la formula debemos tener el angulo barrido por el auto en radianes, asi que procedemos a transformar 135° a dichas unidades. Para ello usaremos la formula:

          Remplazamos 135° en S

radianes.

Reemplazamos en ① los valores que nos dan por dato para hallar el Radio.

L = Θ×R   ⇒   54π = ×R   ⇒   =R   ⇒   R = 72m.

● Respuesta: La pista tiene un radio de 72 metros.

2. Para hallar el area del sector circular utilizamos cualquiera de estas dos formulas

S = ½×Θ×R²
Donde:
Θ: ángulos barrido en radianes.
R: radio.

S = ½×L×R
Donde:
L: Longitud de arco.
R: radio.

Tenemos el Radio, el angulo y la longitud de arco,así que podemos usar cualquiera de la dos ecuaciones. Optamos al azar por la segunda formula.

S = ½×L×R          Reemplazamos los valores

S = ½×54π×72   ⇒   S = 1944π m².

● Respuesta: El área de la sector recorrida es de 1944π m²

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http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/geomanalitica/DGB3_3_2.pdf

http://www.aprendematematicas.org.mx/notas/geomanalitica/DGB3_3_1.pdf

Ecuación de la circunferencia

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro (recordar que estamos hablando del Plano Cartesiano y es respecto a éste que trabajamos).

Determinación de una circunferencia

Una circunferencia queda  determinada cuando  conocemos:

 Tres puntos de la misma, equidistantes del centro.

 El centro y el radio.

 El centro y un punto en ella.

El centro y una recta tangente a la circunferencia.

También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que están a la misma distancia de otro punto, llamado centro.

Esta propiedad es la clave para hallar la expresión analítica de una circunferencia (la ecuación de la circunferencia).

Entonces, entrando en el terreno de la Geometría Analítica, (dentro del Plano Cartesiano) diremos que ─para cualquier punto, P (x, y),  de una circunferencia cuyo centro  es el punto C (a, b) y con radio r─, la ecuación ordinaria es

                                      (x ─ a)² + (y ─ b)² = r²

¿Qué significa esto?

En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un centro definido (coordenadas) en el plano Cartesiano y con radio conocido la podemos “ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación matemática.

Así la vemos	Así podemos expresarla
	Donde: (d) Distancia CP = r y Fórmula que elevada al cuadrado nos da (x ─ a)2 + (y ─ b)2 = r2 También se usa como (x ─ h)2 + (y ─ k)2 = r2

Recordar siempre que en esta fórmula la x y la y serán las coordenadas de cualquier punto (P) sobre la circunferencia, equidistante del centro un radio (r). Y que la a y la b (o la h y la k, según se use) corresponderán a las coordenadas del centro de la circunferencia C(a, b).

Nota importante:

Los ejercicios sobre esta materia pueden hacerse en uno u otro sentido.

Es decir, si nos dan la ecuación de una circunferencia, a partir de ella podemos encontrar las coordenadas de su centro y el valor de su radio para graficarla o dibujarla.

Y si nos dan las coordenadas del centro de una circunferencia y el radio o datos para encontrarlo, podemos llegar a la ecuación de la misma circunferencia.

Cuadrado del binomio Aquí haremos una pausa para recordar el cuadrado del binomio ya que es muy importante para lo que sigue: El binomio al cuadrado  de la forma  (a ─ b)2 podemos desarrollarlo como (a ─ b) (a ─ b) o convertirlo en un trinomio de la forma a2 ─ 2ab + b2.

Sigamos nuestro razonamiento sobre la ecuación (x ─ a)² + (y ─ b)² = r² (que en forma matemática representa una circunferencia).

De la ecuación ordinaria a la ecuación general

Si en esta ecuación ordinaria ─cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la suma de dos cuadrados de binomio─, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:

x² ─ 2ax + a² + y² ─ 2by + b² ─  r² = 0   ecuación que ordenada sería

x² + y² ─ 2ax ─ 2by + a² + b² ─ r²  = 0

Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:

─ 2a = D, 

─ 2b = E, 

a² + b² ─ r² = F 

la ecuación quedaría expresada de la forma:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0  conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:

No existe término en xy

Los coeficientes de x² e y² son iguales.

Si D = ─ 2a    entonces  

Si E = ─ 2b    entonces  

Si F = a² + b² ─  r² entonces 

Además, otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:

                         a² + b² ─ F > 0  (a² + b² ─ F debe ser mayor que cero)
Nota:

Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x² + y² ─ 2ax ─ 2by + a² + b² ─ r²  = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:

─ 2a = A, 

─ 2b = B,

a² + b² ─ r² = C para tener finalmente

x² + y² + Ax + By + C = 0   que es lo mismo que x² + y² + Dx + Ey + F = 0 

A modo de recapitulación

Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuacion ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.

 

Ecuación reducida de la circunferencia

Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a)² + (y ─ b)² = r² , debemos consignar que si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación queda reducida a:

(x ─ a)² + (y ─ b)² = r²

(x ─ 0)² + (y ─ 0)² = r²

x² + y² = r²

Investiga cinco sitios de tu ciudad que tengan pendiente y ordénalas de menos a mayor según su inclinación. 

Ecuación de la recta

(Segundo medio)

Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y Plano cartesiano.

La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son también el punto y el plano).

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal (inclinada a la izquierda o a la derecha).

La línea de la derecha podemos verla, pero a partir de los datos que nos entrega la misma línea  (par de coordenadas para A y par de coordenadas para B en el plano cartesiano) es que podemos encontrar una expresión algebraica (una función) que determine a esa misma recta.

El nombre que recibe la expresión algebraica (función) que determine a una recta dada se denomina Ecuación de la Recta.

Para comprender este proceder es como si la misma línea solo se cambia de ropa para que la vean o sepan de su existencia.

Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de primer grado.

Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se conozcan de la  línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta.

1.– Ecuación general de la recta

Esta es una de las formas de representar la ecuación de la recta.

De acuerdo a uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para determinar una línea recta sólo es necesario conocer dos puntos (A y B) de un plano (en un plano cartesiano), con abscisas (x) y ordenadas (y).

Recuerden que es imprescindible dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano pues la Ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.

Ahora bien, conocidos esos dos puntos, todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación

Ax + By + C = 0

Que también puede escribirse como

ax + by + c = 0

y que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente:

Teorema La ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0, donde A, B, C pertenecen a los números reales();  y en que A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

2.– Ecuación principal de la recta

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.

Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo x el valor de la abscisa ey el valor de la ordenada.

(x, y) = (Abscisa , Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.

Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda

2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.

Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se obtiene con la fórmula

y = mx + n

que considera las siguientes variables: un punto (x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada, como veremos luego).

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y elpunto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas (y).

Respecto a esto, en el gráfico de la izquierda,  m representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación (en relación a la horizontal o abscisa),  y n es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta  interceptará al eje de las ordenadas (y).

Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la ecuación de la recta de la forma 

y − y₁ = m(x − x₁)

y – b  = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b ( no olvidemos que corresponde a la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).

Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o puede ser el intercepto.

Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto,  la bcorresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y).

Ejemplo 1:

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos la información que tenemos:

m = 3  y  b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que se pide es y = 3x + 10.

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar

3x – y  +  10 = 0  

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos a información:  m = – 5 y sustituimos en la ecuación:

y = – 5x + b

Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto (1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando: 2 = – 5 (1) + b

Despejamos la variable b en:

2 = – 5 (1) + b

2 = – 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7

La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7.

La cual también podemos expresar en su forma general:

y = – 5x + 7

y + 5x – 7 = 0

la cual ordenamos y queda

5x + y – 7 = 0

Pendiente de una Recta

Con respecto a la pendiente es necesario conocer los siguientes enunciados:

Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.

Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.

Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.

Además:

Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0 la recta pasa por el origen.

Determinar la pendiente

Aprendido lo anterior es muy fácil hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:

3 = 2 · 1 + n,

y despejando n, queda n = 1.

Por lo tanto, la ecuación de esa recta será:

y = 2x + 1.

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:

3 = m · 1 + n,

5 = m · 2 + n.

Ahora, observemos el gráfico de la derecha: Cuando se tienen dos puntos de una recta P₁ (x₁, y₁) y P₂ (x₂, y₂), la pendiente, que es siempre constante, queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de esos dos puntos y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea, con la fórmula

Entonces, a partir de esta fórmula de la pendiente se puede también obtener la ecuación de la recta, con la fórmula:

y – y₁ = m(x – x₁)

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno solo de sus puntos.

Entonces, la ecuación de la recta que pasa por el punto P₁ = (x₁,  y₁)  y tiene la pendiente dada m,  se establece de la siguiente manera:

y – y₁ = m(x – x₁)

Ver: PSU: Matemáticas,

Pregunta 36_2010

Pregunta 15_2006

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de  – 1/3

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y – y₁ = m(x – x₁)

y – (–4) = – 1/3(x – 2)

3(y + 4) = –1(x – 2)

3y + 12 = –x + 2

3y +12 + x – 2 = 0

3y + x + 10 = 0

x + 3y + 10 = 0

Volviendo a la ecuación general de la recta (Ax + By + C = 0), en ella la pendiente (m) y el coeficiente de posición (n) quedan determinados por:

Ejemplo: ¿Cuál es la pendiente y el coeficiente de posición de la recta 4x – 6y + 3 = 0?

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x₁, y₁) y Q(x₂, y₂) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

    y   

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

que también se puede expresar como

Ejemplo 1:

Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P(1, 2) y Q(3, 4)

y – 2 = x – 1

y – x + 1 = 0

Ejemplo 2:

Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P₁(4, 3) y P₂(–3,  –2)

Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Reemplazamos los valores:

–2 – 3   =  y – 3
–3 – 4        x – 4

–5  =   y – 3
–7        x – 4

y – 3  = x – 4 (–5 /–7)

y – 3 =  –5 x  + 20
                    –7

–7 (y – 3) = –5 x + 20

–7y +21 + 5x – 20 = 0

5x – 7y + 1 = 0

Que se corresponde con una ecuación de la forma general

Ax + By + C = 0

Donde

A = 5

B = 7

C = 1

Ver:

http://www.youtube.com/watch?v=_qzSrMBiUyE&NR=1

Ecuación de la recta dados punto–pendiente (se conoce un punto y se conoce la pendiente)

Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que pasa por  dos puntos está determinada por

pero

Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos

despejando, llegamos a:

y – y₁ = m(x – x₁)

Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto (5, –3)

y – y₁ = m(x – x₁)

y – (–3) = –4(x – 5)

y + 4 = –4x + 20

Luego la ecuación pedida es  4x + y – 16 = 0.

Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la pendiente

Recuerde que la fórmula inicial es  y – y₁ = m(x – x₁)

1. m = –1;  punto (–2, 3)

y – 3 =  –1(x + 2)
y – 3 =  –x – 2
x + y – 1 = 0

2. m = 2; punto (–3/2, –1)

y + 1 = 2(x + 3/2)
y + 1 = 2x + 3
– 2x + y – 2 = 0
2x – y + 2 = 0

3. m = 0; punto (–3, 0)

y – 0 = 0(x + 3)
y = 0

4. m= –4; punto (2/3, –2)

y + 2 = –4(x – 2/3)
y + 2 = –4x + 8/3
y +2 – 4x –8/3 = 0
y – 2/3 – 4x = 0
4x – y + 2/3 = 0

5. m = –2/5; punto (1,4)

y – 4 = 1(x – 1)
y – 4 = x – 1
y – 4 – x + 1 = 0
y – 3 – x = 0
x – y + 3 = 0

6.  m = 3/4; punto (2,5, –3)

y + 3 = ¾(x – 2,5)
y + 3 = 3/4x – 15/8
y + 3 – 3/4x +15/8 = 0
y + 39/8 – 3/4x = 0
3/4x – y – 39/8 = 0

7. m = ind; punto (0,5)

y – 5 = (x – 5)
y – 5 – x + 5 = 0
y – x = 0
x – y = 0

8. m = 0; punto (–4, 1/2)

y – ½ = (x + 4)
y – ½ – x – 4 = 0
y – 9/2 – x = 0
x – y + 9/2 = 0